Иррациональное уравнение с параметром_02

Давайте так, перенесем нашу полемику по сути математических способов в специализированные математические форумы... А здесь, как учителя будем заниматься методикой... , ибо наша с Вами задача эти умения работать головой создать и воображение детское развить...

Посмотрел задачу -- и не понял, зачем переносить один из радикалов в правую часть. Мне как-то естественнее сказать: функция, стоящая в левой части -- строго возрастающая. Поэтому надо, что бы её минимум (достигаемый в нижней точке ОДЗ) был не выше 1. А тут два случая: если a>= 1, то эта нижняя точка при x=2a-1, то есть проверять надо:

sqrt(2a-1-a) < = 1. Итого a /in [1;2].

А при a<1 нижняя точка ОДЗ при x=a. Проверяем, что min f =sqrt(a+2a-1) < = 1.

Это -- при a \in [2/3;1].

Можно, конечно, нарисовать: как одна половинка лежачей параболы едет по другой половинке, складываясь друг с другом, как минимум f(x) переезжает с одной кривой на другую.... Но, в общем, это лучше ГОЛОВОЙ своей делать, чем на экране.