Внутренняя математика программы Живая Математика

Внутренняя математика программы Живая Математика определяет способ вычисления и представления чисел, геометрических фигур, функций и прочих математических объектов, а также вид, в котором объекты появляются на экране.

В Живой Математике принято представление числовых величин в виде 64-битных слов с плавающей запятой, стандартное для научных расчетов. Оно позволяет записывать числа с 14-16 значащими цифрами в очень широком диапазоне (от малых величин ±10300 до больших ±10300). И хотя это весьма высокая точность, такое представление, разумеется, не является точным в строгом смысле (например, число нельзя записать точно с помощью какого бы то ни было конечного количества знаков). Живая Математика применяет качественные алгоритмы вычислений, которые минимизируют накопление погрешности счета, возникающее при использовании чисел с конечным количеством знаков. Тем не менее можно заметить численные ошибки в младших знаках. Эти погрешности неизбежны из-за конечного размера памяти компьютера. Так что вычисленные значения величин достаточно точны, чтобы служить в качестве значимых аргументов исследования, но они не могут заменять точные доказательства.

Не следует путать точность внутреннего представления чисел и вычислений с отображаемой на экране точностью, определяемой пользователем. На экране выводятся величины (например, Измерение) с тем количеством знаков, которое задается в настройках программы или Свойствах. Внутренняя арифметика несравненно более точна.

Программа Живая Математика преобразует внутреннее представление чисел в геометрические фигуры и их местоположение. Объекты типа Окружности, Точки и Отрезка отображаются с точностью, которую позволяют возможности экрана компьютера (если чертеж выводится на принтере, обладающем более высоким разрешением, чем экран, то качество чертежа оказывается лучше).
Однако графики функций и ГМ Живая Математика отображает лишь как визуализацию точной "идеальной" кривой. Главным образом для того чтобы обеспечить возможность перетаскивания, программа использует ту же технику, что и при "ручном" построении: в ограниченном наборе опорных точек вычисляются значения функции (образцы), с помощью которых строится аппроксимирующая интерполяционная кривая. Сами образцы вычисляются очень точно, а интерполяция более или менее точна в зависимости от свойств "идеальной" кривой. На панели Свойства графика Свойства графика можно указать сколько образцов применяется для интерполяции графика функций или ГМ и выводится ли только дискретный набор образцов или непрерывная интерполяционная кривая. Если предполагается употребить больше образцов, чем предусматривается установкой по умолчанию, то можно задать их количество с помощью команды Настройка образцов. Несмотря на то что аппроксимирующая кривая служит программе для целей отображения, можно быть уверенным, что вычисления (например, построение точки на графике или ГМ либо вычисление значения функции в данной точке) основаны на "идеальной" кривой.

Программа Живая Математика выполняет простые символьные вычисления при дифференцировании функций с помощью команды Производная Производная меню Графики. Хотя найденные таким образом производные обычно пригодны для построения графиков и вычислений, они могут быть неточны, в частности, при дифференцировании функции скачка sgn(x). Кроме того, Живая Математика не учитывает влияние ограничения на область определения при дифференцировании. Посредством команды Производная удобно определять наклон функции в произвольной точке для графических и аналитических целей, но результат следует обязательно проверить, прежде чем на его основе делать математические выводы.

См. также
Точность
Свойства графика
Настройка образцов
Производная
Настройки | Единицы